31. Собственные векторы, собственные значения.

Пусть A – действительная числовая квадратная матрица размером (). Ненулевой вектор  размером (), удовлетворяющий условию

 

называется собственным вектором матрицы . Число  в равенстве называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор  соответствует (принадлежит) собственному значению .

Последнее равенство равносильно однородной относительно  системе:

Система имеет ненулевое решение для вектора  (при известном ) при условии . Это равенство есть характеристическое уравнение:

.

где  – характеристический многочлен -й степени.

Корни  характеристического уравнения являются собственными (характеристическими) значениями матрицы , а соответствующие каждому собственному значению , ненулевые векторы , удовлетворяющие системе , являются собственными векторами.

Задача линейной алгебры состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов заданной матрицы.