Пусть A – действительная числовая квадратная матрица размером (). Ненулевой вектор
размером (
), удовлетворяющий условию
называется собственным вектором матрицы . Число
в равенстве называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор
соответствует (принадлежит) собственному значению
.
Последнее равенство равносильно однородной относительно системе:
Система имеет ненулевое решение для вектора (при известном
) при условии
. Это равенство есть характеристическое уравнение:
.
где – характеристический многочлен
-й степени.
Корни характеристического уравнения являются собственными (характеристическими) значениями матрицы
, а соответствующие каждому собственному значению
, ненулевые векторы
, удовлетворяющие системе
, являются собственными векторами.
Задача линейной алгебры состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов заданной матрицы.