%path = "Mathematik/Stukturen/Gruppe" %kind = kinda["Texte"] %level = 10
Gruppenartige algebraische Strukturen bestehen aus einer Menge \(M\) mit einer binären Verknüpfung \(\circ\), kurz \((M,\circ)\). Für alle Elemente (\(\forall_{a,b\in M}\)):
\(a\circ b \in M\) Abgeschlossenheit \(\rightarrow\) Magma
\(a\circ(b\circ c) = (a\circ b)\circ c\) Assoziativgesetz \(\rightarrow\) Halbgruppe
\(a^n = a\) Idempotente Halbgruppe \(\rightarrow\) Verband
\(\exists_e|e\circ a = a\circ e = a\) Neutrales Element \(\rightarrow\) Monoid
\(\exists_\bar{a}|\bar{a}\circ a = a\circ\bar{a} = e\) Inverses Element \(\rightarrow\) Gruppe
\(a\circ b = b\circ a\) Kommutativgesetz \(\rightarrow\) kommutative oder abelsche Gruppe