%path = "Mathematik/Morphismen" %kind = kinda["Texte"] %level = 10
Der Begriff der Funktion aus der Mengenlehre, Elemente einer Menge (Definitionsbereich) in eine andere Menge (Wertebereich) eindeutig abzubilden, wird mit dem Begriff des Morphismus in der Kategorientheorie in der Hinsicht abgeändert/verallgemeinert, dass man die ganze Abbildung ins Zentrum rückt und Objekte unabhängig ob Quelle (domain) oder Ziel (codomain) zu einer Menge von Objekten O zusammenfasst. Quelle und Ziel in der Menge der Objekte sind durch den Morphismus bestimmt, bzw. Teil davon (\(D_f\) ist Quelle von f, \(C_f\) ist Ziel von f, beide müssen nicht Mengen sein). Mehrere Morphismen in der Menge der Morphismen M können sich ein Paar (Quelle,Ziel) teilen. (O,M,id) ist eine Kategorie. id ist der identische Morphismus.
Ein wichtiger Aspekt bezüglich Morphismen ist, dass eine Struktur erhalten bleibt (Ordnungsstruktur, Algebraische Struktur, topologische Struktur) und je nach betrachteter Struktur gibt es Unterbegriffe (\(f\circ g (D_g) = f(g(D_g))\)):
Monomorphismus: \(f\circ g=f\circ h \implies g=h\) (linkskürzbares \(f\)) oder \(f\) injektiv für Mengen als Objekte (Beweis)
Epimorphismus: \(g\circ f=h \circ f \implies g=h\) (rightkürzbar es \(f\)) oder \(f\) surjektiv für Mengen als Objekte (Beweis)
Isomorphismus: \(f\) hat ein \(g\) für das \(f\circ g=id_{D_g}\) und \(g \circ f = id_{D_f}\) (Linksinverse = Rechtsinverse) oder \(f\) bijektiv für Mengen als Objekte
Endomorphismus: \(X\rightarrow X\)
Automorphismus: \(X\rightarrow X\) + Isomorphismus
Homomorphismus (Algebra): \(f(a+b)=f(a)+f(b)\) (\(+\) möglicherweise unterschiedlich)
Homöomorphismus (Topologie): \(f\) und \(f^{-1}\) stetig
Diffeomorphismus (Differentialgeometrie): bijektiv, \(f\) und \(f^{-1}\) stetig differenzierbar