%path = "Mathematik/Funktionen/exponentiell" %kind = kinda["Texte"] %level = 11
In der exponentiellen Funktion
nennen wir
\(x\) den Exponenten
\(a\) die Basis
\(y\) die exponentielle Funktion von \(x\) zur Basis \(a\)
Der Exponent sagt, wie oft die Multiplikation mit \(a\) wiederholt wird. \(a\) muss eine positive reelle Zahl sein : \(a\in\mathbb{R}\).
Multiplikaton
Multiplikation ist eine Operation der realen Welt, die als Zahl codiert wird. In der Zahlenmenge \(\mathbb{Q}\) ist die Operation Teil der Zahl: \(2\) meint \(\cdot 2\) und \(1/2\) meint \(/2\). Das Zeichen \(\cdot\) steht für die Multiplikation und \(/\) steht für die umgekehrte (inverse) Operation, die Division, welche mit der Einbindung der Brüche in \(\mathbb{Q}\) Teil der Zahl wurde. Also sprechen wir nur mehr von Multiplikation und meinen die Anwendung der Operation aus \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Wenn \(a\) größer als \(1\) ist, dann wächst \(y\) mit \(x\) strikt monoton: \(x_1<x_2 \Rightarrow y_1<y_2\).
Wenn \(a\) kleiner als \(1\) ist, dann fällt \(y\) mit \(x\) strikt monoton: \(x_1<x_2 \Rightarrow y_1>y_2\).
Vergleichen wir die Anzahl der Wertekombinationen von \(n\) bits:
mit dem Wachstumsprozess, wie etwa das Anwachsen des Kapitals mit der jährlichen Verzinsung
oder das besonders interessante natürliche Wachstum
\(e\) ist Eulersche Zahl deren Bedeutung auf dem gegebenen Zusammenhang beruht.
Der Schlüssel zum Vestehen der Gemeinsamkeiten steckt in der Interpretation von Information als Wachstumsprozess. Jedes Bit vergößert um \(1\) Mal die vorhandene Anzahl von Wertekombinationen.
Notieren wir diesen Aspekt des Bits mit \((1+1)\), um zu betonen, dass \(1\) dazu kommt. Die Klammern machen den Ausdruck zu einem Operator, einem Element der Zahlenmenge \(\mathbb Q\). \(n\) wiederholte Anwendungen von \((1+1)\) erzeugen eine Vielzahl der Größe
Jedes Bit wird zur bestehenden Menge von Wertekombinationen “dazuverzinst”.
Das Informationmaß einer realen Variablen der Größe \(C\) ist die Anzahl \(n=\log_2 C\) Bits, die notwendig sind, damit wir auf \(C\) Kombinationen kommen.
Vergleich mit welcher anderen Variable?
Statt Bits könnten wir ebensogut die betrachtete Variable selbst nehmen, weil diese ist physikalisch present. Kombinationen sind aber auch physikalisch und auch die Auswahl von Werten, welche letztendlich Veriablen erzeugt, ist ein physicalischer Prozess. Die Anzahl der beteiligten Variablen spielt dabei eine Rolle. Das bedeutet erstens, dass Information physikalisch ist und zweitens, in Hinsicht auf die Quantenmechanik, dass die Anzahl der beteiligten Variablen immens groß ist und die individuellen Beiträge minimal sind.
Wenn wir von der Anzahl an Variablen starten, dann gibt uns die Exponentialfunktion die Anzahl and Wertekombinationen. Wenn wir von der Anzahl der Werte starten, dann gibt uns der Logarithmus die Anzahl der Variablen, die zur Wertegenerierung notwendig ist.
Bei der Zinsrechnung schauen wir auf die Geldmenge (die \(1\)), welche auf der Bank \(i\) Prozent zinsen abgibt. In \(n\) Jahren wächst die \(1\) zu
Der Wachstumsfaktor \(q\) ist nicht \(2\), sondern normalerweise nur etwas über \(1\). Das “Informationsmaß” in diesem finanziellen Kontext würde die Anzahl der Jahre sein.
Der essentielle Unterschied bezüglich den Bits ist, dass, was hinzugefügt wird, ein Bruchteil von dem ist, was da ist. Aber ob Bruchteil oder nicht ist nur ein Frage der Einheit.
Die Einheiten von Lebewesen sind Zellen und die ultimativen Einheiten der realen Welt sind Quanten. Beide sind sehr klein im Vergleich zu den Dingen unserer täglichen Wahrnehmung. Mit solchen kleinen Einheiten können wir auch beliebig oft (= unendlich oft) “verzinsen”:
In der ersteren Gleichung können wir sehen, dass wir mit dem Verändern der Verzinsungsschritte auch die Wachstumsfaktor verändern. Wegen der Bedeutung von \(e^x\) wird der Wachstumsfactor \(q\) in \(y=q^n\) oft zum Exponenten von \(e\) verlegt (\(y=e^{kx}\)). \(k = \ln q\) heißt dann Wachstumskonstante.
Natürliche Verzinsung in der Finanzwelt
Auch in der finanziellen Welt sind die tatsächlichen Verzinsungsschritte sehr klein. Aber die Bank gibt sie ihren Kunden in größeren Zeiteinheiten weiter.
\(x\) ist die Information in der natürlichen Informationseinheit nat. Im Pinzip teilen wir dabei eine Variable in unendliche viele undendlich kleine Variablen auf, so dass der Wachstumsfaktor pro Schritt beinahe bei \(1\) liegt.